“우리는 누군가의 뇌 속에 있을지도 모른다.”
고1, 고2 복소수, 무한급수
학교에서는 프랙탈 구조와 관련하여 수행평가를 실시하거나, 학생들에게 활동 과제로 부여합니다. 학생들은 한 부분에서 전체의 모습을 보면서 감탄사를 연발합니다.
“와, 어찌 이런 그림이 만들어질까요?”
“자연에서도 있을까요?”
학생들은 프랙탈 구조와 이론을 배우는 과정보다 직접 프랙탈 구조를 그려 보는 활동을 통해 제대로 이해하게 됩니다. 무엇보다 “여러분 인체에도 프랙탈 구조가 있어요.”라고 이야기하면, 아이들은 “어디에 있어요?”라며 큰 호기심을 갖습니다.
신비한 자연의 아름다움 속에는 프랙탈이
코흐 눈송이, 시어핀스키 삼각형, 고사리 잎, 번개, 리아스식 해안, 브로콜리, 마트료시카(인형 안에 작은 인형이 겹겹이 들어 있는 러시아 전통 인형) 등은 반복되는 구조를 가지고 있습니다.
수학자 망델브로(1924~2010)는 '영국의 해안선 길이는 얼마일까?'라는 질문의 답을 찾다가, 리아스식 해안의 움푹 들어간 해안선 안에 굴곡진 해안선이 이어지고 있으며, 다시 움푹 들어간 해안선 안에 또 다시 굴곡진 해안선이 계속되고 있음을 발견했어요.
이와 같이 부분이 전체와 닮은 모양이 한없이 무한 반복되는 구조를 '프랙탈(fractal)'이라고 합니다. 일명 '자기 유사성'이라고 하며, 작게 축소하거나 크게 확대하여도 전체와 같아지는 신비로운 성질이 있답니다.
자연에서도 프랙탈('쪼개지다, 부서지다'라는 뜻) 구조는 무수히 많은데, 평면은 2차원, 공간은 3차원, 프랙탈은 분수차원이라고 합니다. 1/3과 같은 분수를 영어로 Fraction이라고 하는데, 프랙탈과 이니셜이 비슷해요
미국 네바다 주의 정체 모를 사막에 그림이
미국 네바다 주의 정체 모를 사막(블랙 록 사막)에서 1000개가 넘는 원으로 구성된 거대한 그림이 발견되었습니다. 이 그림이 아폴로니안 개스킷이라는 프랙탈 도형의 일부라니 참으로 놀랍습니다.
이 그림은 불모지와 같은 사막에 활력소를 주기 위해 만든 작품이라고 해요. 모래 예술가인 짐 데네반이 동료 작가들과 제작을 했답니다.
다양한 프랙탈 도형들을 자연에서도 찾아볼 수 있습니다. 일명 코흐 곡선(눈송이)으로 유명한 눈의 결정은, '겨울 왕국'에서 엘사가 눈 결정체로 된 바닥에서 'Let it go' 노래를 부르는 장면을 떠올려 보면 됩니다. 눈의 구조는 6각형이며, 전체 구조 속의 부분은 또 다시 눈의 전체 구조를 가지고 있답니다. 이 외에도 시에르핀스키 삼각형, 파스칼의 삼각형 등이 있습니다.
인체의 신비를 찾아서
우리 인체 속에서도 프랙탈이 관찰됩니다. 프랙탈은 '유한한 부피를 갖지만, 겉넓이는 무한이 되는 성질'이 있는데, 몸속의 폐와 허파꽈리, 뇌(수많은 주름), 눈 등에서 프랙탈 구조를 찾아볼 수 있답니다. 몸속의 중요한 장기들이 프랙탈 구조라는 것은, 소중하고 복잡한 우리 몸에 일정한 규칙성이 존재한다는 사실을 알려 줍니다.
디지털 아트로 변모하는 프랙탈
프랙탈 아트(디지털 아트의 한 유형)에서 드리핑 기법(일명 물감 뿌리기)으로 획기적인 작품을 선보인 화가 '잭슨 폴록(1912-1953)'은 세계적으로 유명세를 탔던 작가입니다. 그런데 잭슨 폴록이 젊은 나이에 요절하면서(향년 44세), 그가 남긴 유작들에 대한 작품 경매에서 진품인지 가품인지 고민이 많았다고 해요. 이때 결정적인 역할을 한 것이 프랙탈 구조라고 합니다. 드리핑 기법으로 프랙탈을 그림에 반영한 잭슨 폴록의 작품들은 결국 프랙탈 구조로 진품 여부를 판단 받는 최초의 작품이 되었습니다.
프랙탈 도형은 복소수?!
프랙탈 도형은 복소수(z=a+bi)를 이용하여 정의할 수 있으며, 실수 a, b의 순서쌍 (a, b)에 대응하는 좌표평면 위에 점으로 나타내 표현할 수 있답니다.
프랙탈 도형은 모양이 복잡하고, 실제 그림으로 그리는 것이 어려웠어요. 그러다 20세기 후반에 컴퓨터가 발전하면서 프랙탈 도형을 손쉽게 그릴 수 있는 다양한 프로그램이 제작되어 편리하게 구현할 수 있게 되었습니다. 갈릴레이는 '신은 수학이라는 언어로 우주를 창조했다.'고 하였습니다. 수학을 연구하다 보면, 우주의 신비로움까지도 누릴 수 있을 듯합니다.
/최우성 수원교육지원청 장학사·<수포자도 수학1등급 받을 수 있어> 저자
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